Math 006知识点总结

一、整体知识结构与学习目标

三周的主线是：正确读写算式 → 用等价变形求未知量 → 用变量描述现实数量 → 用斜率与截距建立线性模型 → 联立模型找共同解 → 用函数统一输入与输出。应把计算、文字解释、表格和图像联系起来，而不只记公式。

模块	应掌握的核心能力	来源
代数运算	按次序计算；理解分数线、括号、指数；区分表达式与方程	W1 p.2–11
约束与距离	正确变形不等式；把“距离某数”写成绝对值	W1 p.12–18
变量与建模	明确变量、单位、初值和变化率；在变量之间改写公式	W1 p.19–20；W2 p.4–24
线性关系	识别 $y = m x + b$ 与 $y = m x$ ；用变化量求斜率并解释单位	W2 p.11–23；W3 p.2–10、25–27
共同解	将相遇、追及译成两个输出相等；用代入或消元解方程组	W2 p.23、25–30；W3 p.11–18
函数	区别输入、输出、定义域和值域；区别求函数值与反求输入	W3 p.19–27

二、运算次序、表达式与指数

2.1 算式先读结构，再做计算

W1 p.2–8

板书整理PEMDAS 表示括号、指数、乘除、加减。乘和除处于同一级，按从左到右计算；加和减也处于同一级，按从左到右计算。字母在口诀中的先后不表示“先乘后除”或“先加后减”。分数线把整个分子、整个分母各自分组。

9 - 3 - 2 = (9 - 3) - 2 = 4, 9 - (3 - 2) = 8

16 + 4 \div 5 = 16 + 0.8 = 16.8

\frac{30 + 6 - 4}{16} = \frac{32}{16} = 2

\frac{5 ^{3} + 11}{2} = \frac{125 + 11}{2} = 68

\frac{5 + 6 - 3}{2 \cdot 7} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}

板书整理表达式（expression）描述一个数学量，没有用等号提出左右两边相等的条件；方程（equation）用等号给出条件。

解析补充化简表达式时可以用连续等式展示等价结果，这不等于原表达式本身就是待求解的方程。

2.2 整数指数与幂的运算法则

W1 p.6、8–10

5^{1} = 5, 5^{2} = 25, 5^{3} = 125, 5^{0} = 1

5^{- 1} = \frac{1}{5}, 5^{- 2} = \frac{1}{25}

x^{2} \cdot x^{4} = x^{6}, (\frac{3}{4})^{2} = \frac{3 ^{2}}{4 ^{2}} = \frac{9}{16}

(\frac{m}{n})^{20} = \frac{m ^{20}}{n ^{20}} (n \neq = 0)

(5^{2})^{3} = 5^{6}, (5^{m})^{n} = 5^{mn}

解析补充同底数相乘时指数相加，幂再乘方时指数相乘，负指数表示倒数。对于整数指数， $a^{0} = 1$ 与 $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ 均要求 $a \neq = 0$ 。 $a^{n}$ 是 a 的重复乘积，并不是 $a \cdot n$ 。例： $5^{3} = 125$ ，不是 15。

2.3 分数指数与根式

W1 p.10–11

9^{1/2} = 9 = 3, 6 4^{1/3} = 364 = 4

a^{1/ n} = n a, a^{m / n} = (n a)^{m}

板书通过“把结果平方/立方还原”为根式赋予意义。

解析补充实数范围内，偶次根要求被开方数非负，并取非负的主值；奇次根允许负数。为避免有理指数约分造成歧义，通用运算法则以正底数为最稳妥的适用范围；零底数只讨论正指数，负底数的有理指数需核对约分后分母是否为奇数。

纠错/条件由 $x^{2} = 9$ 得 $x = \pm 3$ ；但 $9$ 本身只有主值 3。同理， $x^{2} = ∣ x ∣$ ，不能无条件写成 x。这是根式作为函数与方程求全部解的区别。

三、不等式、绝对值与距离

3.1 等价变形的符号规则

W1 p.12–13

板书整理两边加同一个数，不等号方向保持；乘以正数保持方向，乘以负数需要反向。除法同理，除数不能为零。

a \leq b ⟹ a + c \leq b + c

c > 0 : a c \leq b c, c < 0 : a c \geq b c

纠错/条件W1 p.13 写出“ $m \leq 4$ ⇒ $m^{k} \leq 4^{k}$ ”，没有注明条件。这不是一般有效的规则。例如 $- 5 \leq 4$ ，但 $(- 5)^{2} = 25 > 16$ 。正奇整数次幂在全体实数上递增；正偶整数次幂在非负区间递增。因此只有先确认指数和数值范围，才能决定是否保序。

3.2 球体积上界：把文字约束转成数学约束

W1 p.12–13

题意球的直径至多为 1 英尺，最大体积是多少？先用 $d = 2 r$ ，把直径限制转为半径限制；半径是长度，需非负。

0 \leq d \leq 1 ft ⟹ 0 \leq r \leq \frac{1}{2} ft

V = \frac{4}{3} π r^{3} \leq \frac{4}{3} π (\frac{1}{2})^{3}

V = \frac{π}{6} ft^{3} \approx 0.5236 ft^{3}

解析补充 $r^{3}$ 随非负半径 r 增大而增大，上界可在 $r = \frac{1}{2}$ 时达到。体积单位是 $ft^{3}$ ，不能沿用长度的 ft。原页结论是“≤”，应保留上界含义。

3.3 绝对值是数轴上的距离

W1 p.14–18

∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0, x < 0.

∣0∣ = 0, ∣5∣ = 5, ∣ - 6∣ = 6, ∣10 - 4∣ = 6, ∣3 - 7∣ = 4

∣5 - 12∣ = 7, ∣3 - (- 20) ∣ = 23, ∣3 - 12∣ = 9, ∣14 - 6∣ = 8

两数之间的距离写成 $∣ a - b ∣$ 。如果内部是负数，取它的相反数；绝对值结果总是非负。“至多”表示 ≤，“恰好”表示 =，不能只看离中心右侧的部分。

文字/条件	数学形式	解集
恰好离 6 两个单位	$∣ x - 6 ∣ = 2$	$x = 4$ 或 $x = 8$
至多离 6 两个单位	$∣ x - 6 ∣ \leq 2$	$4 \leq x \leq 8$ ，即 [4,8]
至多离 10 四个单位	$∣ x - 10 ∣ \leq 4$	$6 \leq x \leq 14$ ，即 [6,14]
至多离 12 两个单位	$∣ x - 12 ∣ \leq 2$	$10 \leq x \leq 14$ ，即 [10,14]

板书分情况解释 $∣ x - 6 ∣ \leq 2$ ： $x \geq 6$ 时 $0 \leq x - 6 \leq 2$ ，得 $6 \leq x \leq 8$ ； $x < 6$ 时 $∣ x - 6 ∣ = 6 - x$ ，得 $4 \leq x < 6$ 。合并得到 [4,8]。

解析补充一般地， $r \geq 0$ 时， $∣ x - a ∣ \leq r$ 等价于 $a - r \leq x \leq a + r$ ； $r > 0$ 时 $∣ x - a ∣ = r$ 有 $a \pm r$ 两个解， $r = 0$ 时只有一个， $r < 0$ 时无解。

四、解方程、公式改写与数量关系

4.1 等式两边同步操作

W2 p.4–5

\frac{5 ( x - 3 )}{2} = 10

⟹ 5 (x - 3) = 20

⟹ x - 3 = 4

⟹ x = 7

板书也给出先展开的路线： $5 x - 15 = 20$ ⇒ $5 x = 35$ ⇒ $x = 7$ 。

解析补充两条路线结果相同；括号整体已经乘 5 时，先除 5 可以减少运算。

回代 $\frac{5 ( 7 - 3 )}{2} = 10$ ，说明结果满足原方程。

4.2 温度换算：代入与反求

W1 p.19–20

F = \frac{9}{5} C + 32

C = 30 : F = \frac{9}{5} \cdot 30 + 32 = 86^{\circ} F

F = 90 : 90 - 32 = \frac{9}{5} C

C = \frac{5}{9} \cdot 58 = \frac{290}{9} \approx 32.22^{\circ} C

解析补充一般逆向改写为 $C = (\frac{5}{9}) (F - 32)$ 。必须先减 32，再乘 $\frac{5}{9}$ ，不能把 32 放到括号外。W1 p.20 的结果用循环小数表示；此处给出精确分数与近似值，避免把 32.2 当成精确答案。

4.3 “用某变量表示”与消去中间变量

W2 p.8、22–23；W3 p.25–27

d = 280 - 3 x ⟹ x = \frac{280 - d}{3}

y = 3 x + 4 ⟹ x = \frac{y - 4}{3}

z = 5 x - 6 ⟹ z = \frac{5 ( y - 4 )}{3} - 6 = \frac{5 y - 38}{3}

“用 y 表示 z”就是使表达式右侧只含 y 与常数。

解析补充将 z 写成 y 的式子是在描述变量关系；若进一步问 $y = z$ ，则要增加相等条件，求特定的共同值，而不是把所有 y 与 z 都视为相等。

W3 p.25–27：线性关系经过 $(0, 1)$ 、 $(2, 5)$ 。由两点得 $m = \frac{5 - 1}{2 - 0} = 2$ ；代 $(0, 1)$ 得 $b = 1$ 。因此 $y = 2 x + 1$ ，反向为 $x = \frac{y - 1}{2}$ 。

五、线性关系、正比例与斜率

5.1 直线模型的两个参数

W2 p.11–15、20–21

线性关系： y = m x + b

正比例关系： y = m x (b = 0)

Δ x = x_{2} - x_{1}, Δ y = y_{2} - y_{1}, Δ y = m Δ x

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x_{2} \neq = x_{1})

板书中的 linear relationship 使用初等代数的直线关系含义，包含非零截距的情形。正比例是其中经过原点的一类。m 是变化率，表示输入每增加 1 单位，输出变化多少；b 是输入为 0 时的输出。 $m > 0$ 递增， $m < 0$ 递减， $m = 0$ 为常量。

解析补充斜率单位是“输出单位/输入单位”，截距单位与输出相同。竖直线 $x = c$ 虽是直线，但不能写成 $y = m x + b$ ，也不是以 x 为输入的单值函数。图像须标明坐标轴、单位和刻度；讲义多为示意图，不能仅按画面角度估算斜率。

W2 p.20 ： y = 3 x + 8

x : 2 \to 3.5 ⟹ Δ x = 1.5, Δ y = 4.5

x : 5 \to - 2 ⟹ Δ x = - 7, Δ y = - 21

解析补充变化量是“终值−初值”，可以为负；截距 b 在两次输出相减时抵消，所以 Δy 只与 m 和 Δx 有关。

5.2 单位速率与倍数

W2 p.11、19；W3 p.2–4

板书给出近似换算 1 kg≈2.2 lb，是正比例换算示例。体重比题中，Juan Martin 为 219 lb，Anderson 为 183 lb；前者是后者的 $\frac{219}{183} = \frac{73}{61} \approx 1.197$ 倍。

解析补充“是几倍”求比值，不是求两者差 36 lb；二者单位相同，倍数没有单位。

每 4 秒前进 9 英尺： v = \frac{9}{4} ft/s

12 秒的路程： \frac{9 ft}{4 s} \cdot 12 s = 27 ft

1 秒的路程： \frac{9}{4} ft = 2.25 ft

f = \frac{9}{4} s （ s 是秒数， f 是英尺数）

解析补充原板书用 f 与 s 表示数量，易与后文函数符号混淆。也可改写 $d (t) = (\frac{9}{4}) t$ ，明确 t 的单位为秒。单位相消能检查式子是否合理；在匀速、起点记为路程零点的假设下，此模型是正比例关系。

六、线性应用题的完整解析

6.1 相向而行：初始间隔如何减少

W2 p.6–10、15

板书题意Malik 与 Alexia 相距 280 英尺，同时相向而行，Alexia 的速度为 Malik 的两倍。令 x 为 Malik 已走的英尺数，则同一时刻 Alexia 走了 2x，两人合计靠近 3x。

d = 280 - (x + 2 x) = 280 - 3 x, x = \frac{280 - d}{3}

相遇时 d = 0 : x = \frac{280}{3} = 93 \frac{1}{3} ft

Alexia 的路程： 2 x = \frac{560}{3} = 186 \frac{2}{3} ft

解析补充相遇之前 $0 \leq x \leq \frac{280}{3}$ ， $0 \leq d \leq 280$ 。 $- 3$ 的单位是“英尺间隔/英尺 Malik 路程”，表示 Malik 每走 1 英尺，间隔减少 3 英尺。这里斜率不是以秒为分母的速度。相遇后若继续运动，实际间隔应取 $∣ 280 - 3 x ∣$ ，不能把负值称为距离。

6.2 蜡烛：从初值与另一时刻求模型

W2 p.16–18

板书题意蜡烛原长 14 英寸，均匀燃烧，3 分钟后剩 8 英寸。设 t 是分钟数，C 是剩余英寸数。

C = m t + b, C (0) = 14 ⟹ b = 14

m = \frac{8 - 14}{3 - 0} = - \frac{6}{3} = - 2 in/min

C (t) = 14 - 2 t

解析补充剩余长度的变化率是 $- 2$ 英寸/分钟；燃烧消耗的速率大小是 2 英寸/分钟。若按此速率烧至零且无额外限制，则 $14 - 2 t = 0$ 得 7 分钟烧完，模型有效时间为 $0 \leq t \leq 7$ 。此燃尽时间与区间是由模型推得的补充，原页重点是确定 m 与 b。

6.3 龟兔赛跑：位置相等与到达终点是两种条件

W2 p.25–30；W3 p.5–6

板书题意终点为 200 码处；乌龟 Gary 的速度是 5 码/秒，起点已在 50 码处；兔子 Sandra 的速度是 15 码/秒，从 0 码处开始。设 t 为同时出发后经过的秒数。

g (t) = 5 t + 50, s (t) = 15 t

追上条件： g (t) = s (t)

5 t + 50 = 15 t ⟹ 10 t = 50 ⟹ t = 5 s

g (5) = s (5) = 75 yd, 交点 (5, 75)

兔子到终点： 15 t = 200 ⟹ t = \frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3} s

乌龟到终点： 5 t + 50 = 200 ⟹ t = 30 s

兔子到终点时： g (\frac{40}{3}) = 5 \cdot \frac{40}{3} + 50

兔子到终点时： = \frac{350}{3} = 116 \frac{2}{3} yd

解析补充兔子先到终点；此时乌龟距终点还剩 $200 - \frac{350}{3} = \frac{250}{3} = 83 \frac{1}{3}$ 码。g(t) 是相对于起点坐标零点的位置，乌龟本次实际走过的距离是 $g (t) - 50 = 5 t$ 。应区分位置、已走路程、两者间隔和离终点的距离。

纠错/课堂反例W2 p.27 右侧故意试写 $15 t = 5 t + 15$ ，得到 $t = 1.5$ ，并注明验算发现不成立。这不是第二个正确模型。正确常数是乌龟的领先位置 50，而 15 是兔子的速度；代 $t = 1.5$ 到原模型， $s = 22.5$ 、 $g = 57.5$ ，位置不相等。

6.4 水箱：变化量、向前推与向后推

W3 p.7–10

板书题意水箱以恒定速率漏水； $t = 0$ 分钟时有 20 加仑， $t = 10$ 分钟时有 16 加仑。

m = \frac{Δ g}{Δ t} = \frac{16 - 20}{10 - 0} = - \frac{4}{10} = - 0.4 gal/min

g (t) = 20 - 0.4 t

g (- 15) = g (0) + m (- 15 - 0)

g (- 15) = 20 + (- 0.4) (- 15) = 26 gal

解析补充 $t = - 15$ 表示参照时刻之前 15 分钟，不是“负的时长”。26 加仑成立的条件是漏水规律在此前也持续成立、期间没有补水且容量允许；已知的两个时刻本身不能保证此前情况。向后推是外推而非新增观测。若从 $t = 0$ 起一直按此规律漏，理论上 50 分钟后为空，之后不应用负水量解释模型。

6.5 通用解题框架

W2 p.24

原文阶段	中文操作	应形成的结果
ORIENT	理解情境、画图、定义变量并标单位	已知量、未知量、约束、题目真正所求
PLAN	找关系，选择公式或模型，考虑可行路线	例如：位置=初始位置+速度×时间
EXECUTE	列式、求解，并用图像或公式解释变化	保留关键等价变形与单位
VERIFY	回代并检查情境是否合理	同时满足原条件，符号、单位、范围均合理

七、线性方程组：代入、消元与解的个数

7.1 为什么要同时满足两个方程

W2 p.23；W3 p.11–13

方程组的解是同时满足全部方程的有序对 (x,y)。在平面图像中，它是两条直线的共同点。只满足其中一个方程不够。

例一： {2 x + 3 y = 5, 10 x - 4 y = 6.

代入法： x = \frac{5 - 3 y}{2}

10 \cdot \frac{5 - 3 y}{2} - 4 y = 6

⟹ 25 - 15 y - 4 y = 6 ⟹ - 19 y = - 19 ⟹ y = 1

回代： x = \frac{5 - 3}{2} = 1, (x, y) = (1, 1)

消元法：第一式乘 5 ， 10 x + 15 y = 25

(10 x + 15 y) - (10 x - 4 y) = 25 - 6

⟹ 19 y = 19 ⟹ y = 1 ⟹ x = 1

解析补充原页代入/消元过程主要算到 $y = 1$ ；这里补齐 x 与回代。

检验 $2 + 3 = 5$ 、 $10 - 4 = 6$ 。消元时减去整条方程，括号内每一项都要变号，因此 $15 y - (- 4 y) = 19 y$ 。

7.2 选择更简便的消元方向

W3 p.15–17

例二： {3 x + y = 10, x - 5 y = - 18.

代入法： y = 10 - 3 x

x - 5 (10 - 3 x) = - 18 ⟹ 16 x - 50 = - 18 ⟹ x = 2

y = 10 - 3 \cdot 2 = 4

消元法：第二式乘 - 3, - 3 x + 15 y = 54

加第一式： 16 y = 64 ⟹ y = 4 ⟹ x = 2

解析补充某个变量系数为 ±1 时，代入法通常方便；容易形成相同或相反系数时，消元法通常方便。整条方程乘常数时，左右两边以及每一项都要同步乘。

检验 $(2, 4)$ 满足 $6 + 4 = 10$ 、 $2 - 20 = - 18$ 。

7.3 唯一解、无解、无穷多解

W2 p.23；W3 p.18

无解例： {2 x + 8 y = 16, - 3 x - 12 y = 9.

第一式乘 3 ： 6 x + 24 y = 48

第二式乘 2 ： - 6 x - 24 y = 18

相加得到 0 = 66 （矛盾），所以无解。

计算结果/几何关系	含义	判别要点
两条不同斜率直线相交	唯一解	交点坐标同时满足两式
得到 $0 = c$ ， $c \neq = 0$ ；两条不同的平行线	无解	系数成比例，常数项不按同一比例
消元得到 $0 = 0$ ；两条直线重合	无穷多解	非退化直线方程中，系数和常数项全部按同一比例

解析补充以上几何判别针对两条非退化直线；“相同斜率”只说明可能平行或重合，仍须比较截距。W2 p.23 的 $y = 3 x + 4$ 、 $z = 5 x - 6$ 在 $y = z$ 时给出 $3 x + 4 = 5 x - 6$ ，解 $x = 5$ ，共同输出为 19，图像交点为 $(5, 19)$ 。

八、函数：从时间表到代数式

8.1 函数记号与求值

W3 p.23

f (x) = x^{3} - 9

f (0) = - 9, f (2) = 8 - 9 = - 1

f (- 2) = (- 2)^{3} - 9 = - 17, f (- 3) = (- 3)^{3} - 9 = - 36

解析补充f(x) 表示输入为 x 时的输出，不是 f 乘 x。代入负数时要用括号，确保幂作用于整个输入。求 f(2) 是已知输入求输出；求“使 f(x)=某值的 x”是已知输出反求输入，任务不同。

8.2 定义域、值域与平方根

W3 p.24

g (x) = x （在实数范围讨论）

g (0) = 0, g (4) = 2, g (16) = 4, g (7) = 7

g (- 4) 在实数范围内无定义

g (x) = 6 ⟹ x = 6 ⟹ x = 36

g (x) = - 9 无实数解

解析补充自然定义域为 $[0, + \infty)$ ，值域为 $[0, + \infty)$ 。 $- 4$ 不在定义域，说明它不能作为输入； $- 9$ 不在值域，说明它不能成为输出。不能由“一个函数存在”就推断任何输入或任何期望输出都允许。

8.3 线性函数的正向与反向

W3 p.25–27

两点给出的 $y = 2 x + 1$ 可以记作 $f (x) = 2 x + 1$ 。反向 $x = \frac{y - 1}{2}$ 是根据已知输出求输入。

解析补充一般 $y = m x + b$ 只有 $m \neq = 0$ 时才能唯一改写为 $x = \frac{y - b}{m}$ ； $m = 0$ 的常函数不能由一个输出唯一恢复输入。

九、关键易错点与原页条件核验

位置	需要注意的内容	正确处理
W1 p.2–4	把减法随意分组；把 PEMDAS 读成严格先乘后除	同级运算从左到右，括号可改变结果
W1 p.5	“表达式没有等号”只是入门区分	表达式可在化简推导中出现在连续等式里
W1 p.9–11	指数法则及根式定义缺少范围说明	负指数底数非零；偶次根非负；平方反求有正负分支
W1 p.13	$m \leq 4$ 后直接写 $m^{k} \leq 4^{k}$	不能无条件乘方；先核对单调性与数值范围
W1 p.18	分情况只得到区间的一半	两种情况取并集，得到完整 [4,8]
W1 p.20	循环小数写法易当成有限小数	用 $\frac{290}{9}$ 精确表达，或标明约等于
W2 p.6–10	距离模型超出相遇前范围	相遇前 $d = 280 - 3 x$ ；相遇后实际间隔需取绝对值
W2 p.18；W3 p.8–9	负变化率与消耗速率混淆	剩余量斜率为负，消耗速率大小为正
W2 p.27	把右侧错误方程当第二种答案	它是通过回代否定的反例，正确常数为 50
W3 p.9	把 $g (- 15)$ 当成无条件已知事实	这是基于恒定漏水延续到此前的外推
W3 p.12–13	只算 y 没有完成有序对	补 $x = 1$ 并回代两个原方程
W3 p.18	$0 = 66$ 被当作求出的解	这是矛盾，结论为无解
W3 p.19–22	时间表空档被假定有输出；活动混同地点	限定定义域、说明端点；表内实际给出活动
W3 p.24	把平方根输出写成 ± $x$	平方根函数只取非负主值

识别说明：核心例题的数值、方程与结论均可从图像辨认。W1 p.10 幂中小字经放大确认是 $(5^{2})^{3} = 5^{6}$ ，并无负号。人名和课程简称保留原拼写或常见释义，不影响数学结论。课堂通知为当时记录，未据此推断当前安排；页内投票链接仅作为课堂附注，不影响本报告，也未访问。

十、术语对照与复习提纲

英文	中文	本课语境
expression / equation / inequality	表达式 / 方程 / 不等式	数学量 / 相等条件 / 大小约束
base / exponent / root	底数 / 指数 / 根	幂与根式的组成
absolute value / at most	绝对值 / 至多	距离 / 不超过（≤）
variable / in terms of	变量 / 用……表示	明确量与单位 / 消去其他变量
linear / proportional relationship	线性关系 / 正比例关系	$y = m x + b$ / $y = m x$
slope / intercept / constant rate	斜率 / 截距 / 恒定变化率	变化量之比 / 初值 / 线性模型特征
ordered pair / Cartesian coordinates	有序对 / 笛卡尔坐标	(输入,输出) 与坐标图
substitution / elimination	代入法 / 消元法	用等价表达式替换 / 组合方程消去变量
function / input / output	函数 / 输入 / 输出	每个允许的输入有唯一输出
domain / range / undefined	定义域 / 值域 / 无定义	允许输入集合 / 实际输出集合 / 输入不允许

建议复习顺序：先做 W1 的运算、指数和绝对值；再复算 W2 的温度、相向而行和蜡烛，要求每个变量写清单位；接着独立完成龟兔赛跑的“何时追上、何时到终点、另一方在哪里”；最后完成 W3 的两组联立方程、平方根定义域和值域、两点求直线。每题都用原条件回代，而不仅核对最后数值。

自测与答案（均为整理者补充，用于检查迁移能力）

1
计算 $18 \div 3 \times 2$ 与 $18 \div (3 \times 2)$
查看答案
前者 12，后者 3；同级运算从左向右
2
解 $∣ x - 5 ∣ \leq 3$
查看答案
$2 \leq x \leq 8$ ；距离约束包含左右两侧
3
直线经过 $(1, 4)$ 、 $(3, 10)$ ，求式
查看答案
$m = \frac{6}{2} = 3$ ， $b = 1$ ，故 $y = 3 x + 1$
4
剩余量 $Q = 12 - 0.5 t$ ，求 $Q = 7$ 时刻
查看答案
$t = 10$ ；若从 $t = 0$ 起且只减至空，有效范围 $0 \leq t \leq 24$
5
解 $x + y = 7$ 、 $2 x - y = 2$
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相加得 $3 x = 9$ ，故 $(x, y) = (3, 4)$
6
$h (x) = x - 2$ ，定义域与 $h (x) = 3$ 的解
查看答案
$x \geq 2$ ； $x - 2 = 3$ 得 $x = 11$ ，回代成立

附录、77 页内容总结

W1 · 第1周内容总结20 页

W1 p.1封面
Math 006 A；Week 1；Professor William Wood。
W1 p.2数学记号与运算顺序
Mathematical Notation；Simplifying Expressions；9−3−2=?；PEMDAS，依次标注括号、指数、乘、除、加、减。
W1 p.3减法分组比较
$(9 - 3) - 2 = 6 - 2 = 4$ ； $9 - (3 - 2) = 9 - 1 = 8$ 。
W1 p.4先除后加
$16 + 4 \div 5 = 16 + (4 \div 5) = 16 + 0.8 = 16.8$ 。
W1 p.5表达式
Simplifying Expressions；表达式表示某个 numerical (mathematical) value，旁注 no =。
W1 p.6化简例题
$\frac{30 + 6 - 4}{16} = \frac{32}{16} = 2$ ； $\frac{5 ^{3} + 11}{2} = \frac{125 + 11}{2} = \frac{136}{2} = 68$ ； $x^{2} \cdot x^{4} = x^{6}$ 。
W1 p.7课堂通知
Week 1 Thursday；作业推迟到周一；明天有 discussion；attendance is graded（出勤计分）。均为原课时通知。
W1 p.8分数线与指数
$\frac{5 + 6 - 3}{2 \cdot 7} = (5 + 6 - 3) \div (2 \cdot 7) = 8 \div 14 = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$ ； $5^{1} = 5$ ， $5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$ ， $5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ 。
W1 p.9零指数、负指数与分数乘方
$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5$ ； $5^{2} = 5 \cdot 5$ ； $5^{1} = 5$ ； $5^{0} = 1$ ； $5^{- 1} = \frac{1}{5}$ ； $5^{- 2} = (\frac{1}{5}) (\frac{1}{5}) = \frac{1}{25}$ ； $(\frac{3}{4})^{1} = \frac{3}{4}$ ； $(\frac{3}{4})^{2} = \frac{3 ^{2}}{4 ^{2}}$ 。旁注指数描述底数自乘或倒数相乘的次数。
W1 p.10商的幂、幂的幂与平方根
$(\frac{m}{n})^{20} = \frac{m ^{20}}{n ^{20}}$ ； $(5^{2})^{3} = (5^{2}) (5^{2}) (5^{2}) = 5^{6}$ ； $(5^{m})^{n} = 5^{mn}$ 。令 $9^{\frac{1}{2}} = x$ ，平方得 $9 = x^{2}$ ，说明 $9^{\frac{1}{2}} = 9$ ，并推广 $m^{\frac{1}{2}} = m$ 。
W1 p.11立方根与分数指数
令 $6 4^{\frac{1}{3}} = x$ ；立方得 $64 = x^{3}$ ； $4 = 364 = 3 x^{3} = x$ 。高亮 $m^{\frac{1}{n}} = n m$ 、 $p^{\frac{m}{n}} = (n p)^{m}$ 。
W1 p.12球体积与直径约束
Solving equations & Inequalities； $V = (\frac{4}{3}) π r^{3}$ ；直径至多 1 foot，问体积多大； $d \leq 1$ ft， $d = 2 r$ ， $r \leq \frac{1}{2}$ ft。
W1 p.13体积上界与不等式规则
由 $r \leq \frac{1}{2}$ ，得 $r^{3} \leq \frac{1}{8}$ 、 $(\frac{4}{3}) r^{3} \leq \frac{1}{6}$ 、 $V \leq \frac{π}{6}$ $ft^{3}$ 。下半页：从 $m \leq 4$ 出发，加同数保持方向；乘 $r > 0$ 保持方向， $r < 0$ 反向；另写 $m^{k} \leq 4^{k}$ 。末条缺少适用条件，见正文纠错。
W1 p.14绝对值的定义与距离
$∣ 0 ∣ = 0$ ， $∣ 5 ∣ = 5$ ， $∣ - 6 ∣ = 6$ ， $∣ 10 - 4 ∣ = 6$ ， $∣ 3 - 7 ∣ = 4$ 。分段定义 $∣ m ∣ = m$ （ $m \geq 0$ ）、 $- m$ （ $m < 0$ ）； $∣ 5 - 12 ∣ = 7$ ； $∣ 3 - (- 20) ∣ = 23$ 。
W1 p.15距离例题
How far is 3 from 12? $∣ 3 - 12 ∣ = 9$ ；How far is 14 from 6? $∣ 14 - 6 ∣ = 8$ 。
W1 p.16距离上界
“至多离 10 四个单位”： $∣ x - 10 ∣ \leq 4$ ，数轴括出 6 到 14；“至多离 12 两个单位”： $∣ x - 12 ∣ \leq 2$ 。
W1 p.17绝对值方程
“恰好离 6 两个单位”： $∣ x - 6 ∣ = 2$ ； $x - 6 = 2$ 得 $x = 8$ ，或 $x - 6 = - 2$ 得 $x = 4$ ；数轴标两点。
W1 p.18绝对值不等式分情况
$∣ x - 6 ∣ \leq 2$ 。 $x - 6 \geq 0$ 时 $0 \leq x - 6 \leq 2$ ，得 $6 \leq x \leq 8$ ； $x - 6 < 0$ 时 $0 < 6 - x \leq 2$ ，经乘 $- 1$ 反号并加 6，得 $4 \leq x < 6$ 。
W1 p.19温度与变量关系
Quantities & How they Relate； $F = (\frac{9}{5}) C + 32$ ；Fahrenheit & Celsius。30°C 代入得到 $54 + 32 = 86° F$ 。
W1 p.20反求摄氏温度
90°F 对应多少 Celsius？ $90 = (\frac{9}{5}) C + 32$ ；两边减 32 得 $58 = (\frac{9}{5}) C$ ；乘 $\frac{5}{9}$ 得 $C = \frac{58 \cdot 5}{9}$ ，末行写循环小数约 32.2…°C。

W2 · 第2周内容总结30 页

W2 p.1封面
Math 006 A；Week 2。
W2 p.2课堂提醒
Make sure Rational Reasoning is now setup：提醒完成 Rational Reasoning 的设置。
W2 p.3章节编号
2.1 & 2.2。
W2 p.4求解变量
Solve for variable； $\frac{5 ( x - 3 )}{2} = 10$ ；问 x 可以取什么值；两边乘 2 得 $5 (x - 3) = 20$ 。
W2 p.5两种等价变形
左侧展开为 $5 x - 15 = 20$ ，加 15、除 5 得 $x = 7$ ；右侧直接除 5 得 $x - 3 = 4$ ，加 3 也得 $x = 7$ 。
W2 p.6相向而行的变量定义
Malik 与 Alexia 相距 280 英尺；Alexia 走得是 Malik 的两倍快。Malik 走 x 英尺，则 Alexia 走 2x 英尺；x 定义为 Malik 已走的英尺数。
W2 p.7总路程与剩余距离
两人合计已走 $x + 2 x = 3 x$ ；彼此靠近，剩余距离为 $280 - 3 x$ 。
W2 p.8用另一变量表示
设两人间隔为 d： $d = 280 - 3 x$ ；问 x in terms of d；减 280、除 $- 3$ 得 $x = \frac{280 - d}{3}$ 。
W2 p.9相遇条件的翻译
问相遇时 Alexia 走多远；Alexia 走 2x；相遇等价于 $d = 0$ ；故求 $d = 0$ 时的 2x。旁注需在问题语言与数学术语间转换。
W2 p.10相遇路程结果
$x = \frac{280 - 0}{3} = \frac{280}{3}$ ；两边乘 2， $2 x = \frac{560}{3} = 186 \frac{2}{3} = 186.6 \dots$ （循环）英尺。
W2 p.11线性关系的例子
Relationships between variables； $F = (\frac{9}{5}) C + 32$ ；1 kg≈2.2 lb； $d = 280 - 3 x$ ；归入 Linear Relationships。
W2 p.12线性与正比例的形式
y 与 x 为 linear relationship： $y = m x + b$ ；为 proportional relationship： $y = m \cdot x$ 。
W2 p.13线性与正比例的图像
坐标平面中多条示意直线；蓝色 proportional 穿过原点，红色 linear 画出一般截距情形。
W2 p.14斜率的含义
在线性关系中有 slope，描述一个变量改变时另一个变量改变多少； $m \cdot Δ x = Δ y$ ；Δx=change in x-value。
W2 p.15相向而行的斜率
$d = 280 - 3 x$ ；Malik 走 1 英尺，间隔减少 3 英尺；走 2 英尺，间隔减少 6 英尺；slope=−3； $- 3Δ x = Δ d$ 。
W2 p.16蜡烛模型的设定
14 英寸蜡烛均匀燃烧；C=candle length，t=time in minutes；C 与 t 为线性关系 $C = m t + b$ ； $t = 0$ 时 $C = 14$ 。
W2 p.17蜡烛的截距与数据点
$14 = m \cdot 0 + b ⟹ b = 14$ ； $C = m t + 14$ ；m 是蜡烛变化的速率，单位 $\frac{inches}{minute}$ ， $m < 0$ 。3 分钟后剩 8 英寸，数据为 $(0, 14)$ 、 $(3, 8)$ 。
W2 p.18蜡烛斜率计算
$C = m t + b$ ； $14 = m \cdot 0 + b$ ； $8 = m \cdot 3 + b$ ； $m Δ t = Δ C$ ， $m \cdot 3 = - 6$ ，得 $m = - 2$ 。
W2 p.19倍数关系
Juan Martin 219 lb、Anderson 183 lb；问前者是后者多重的几倍； $J = x \cdot A$ ； $219 = x \cdot 183$ ；比值为 $\frac{219}{183}$ 。
W2 p.20变化量计算
$y = 3 x + 8$ ；x 从 2 到 3.5， $Δ x = 1.5$ ， $Δ y = 3 \cdot 1.5 = 4.5$ ；x 从 5 到 $- 2$ ， $Δ x = - 7$ ， $Δ y = - 21$ 。
W2 p.21恒定变化率
Linear Relationships； $y = m x + b$ ；constant rate； $y (x_{1}) - y (x_{0}) = m (x_{1} - x_{0})$ ； $Δ y = m Δ x$ 。
W2 p.22代入消去中间变量
$y = 3 x + 4$ ； $z = 5 x - 6$ ；要求用 y 表示 z。先 $x = \frac{y - 4}{3}$ ，再 $z = 5 (\frac{y - 4}{3}) - 6$ 。
W2 p.23共同输出与交点
求使 $y = z$ 的 x； $3 x + 4 = 5 x - 6 ⟹ 10 = 2 x ⟹ x = 5$ ；图标交点 $(5, 19)$ 。另列 0 solutions、∞ solutions、1 solution，并说明前两类只在同斜率时出现。
W2 p.24应用题解题框架
印刷截图标题 A Problem Solving Framework for Solving Applied Problems (PSF)，圈出 ORIENT、PLAN、EXECUTE、VERIFY；手写旁注 An approach to solving word problems。
W2 p.25龟兔赛跑建模
200 码赛跑；Gary（乌龟）5 $\frac{yd}{s}$ ，领先 50 yd；Sandra（兔子）15 $\frac{yd}{s}$ 。求 g(t)、s(t)： $g = 5 t + 50$ ， $s = 15 t + 0$ 。
W2 p.26终点时间比较
兔子到 200 码： $200 = 15 t ⟹ t = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3}$ ；乌龟： $200 = 5 t + 50 ⟹ 150 = 5 t ⟹ t = 30$ 。
W2 p.27追及与验算反例
求 Sandra 何时何地追上 Gary： $15 t = 5 t + 50 ⟹ t = 5$ ； $s (5) = 75$ 、 $g (5) = 75$ 。右侧故意以 $15 t = 5 t + 15$ 得错误结果，旁注验算揭露问题。
W2 p.28龟兔位置图
Gary： $g = 5 t + 50$ ；Sandra： $s = 15 t$ ；两条直线相交于 $(5, 75)$ 。
W2 p.29同一时刻另一方的位置
问 Sandra 完赛时 Gary 在哪里；转换为 $s = 200$ 时 g=?；先 $200 = 15 t$ 得 $t = 13 \frac{1}{3}$ 秒。
W2 p.30另一方位置计算
$g (13 \frac{1}{3}) = 5 \cdot (\frac{40}{3}) + 50 = \frac{200}{3} + 50 = 66 \frac{2}{3} + 50 = 116 \frac{2}{3}$ 码。

W3 · 第3周内容总结26 页

W3 p.1封面
Math 006；Week 3。
W3 p.2章节与匀速路程
页首 2.4 & 2+；Donte 向东跑，每 4 秒走 9 英尺；12 秒走多远？(9 $\frac{ft}{4}$ s)·12 $s = 27$ ft。
W3 p.3单位速率与正比例
1 秒走 $(\frac{9}{4})$ 英尺= $2 \frac{1}{4}$ 英尺；Proportional Relationship； $feet = (\frac{9}{4}) \cdot seconds$ ； $f = (\frac{9}{4}) s$ 。
W3 p.4笛卡尔坐标
Cartesian Coordinates；横轴 s，纵轴 feet； $f = (\frac{9}{4}) s$ ，示意图经过 $(0, 0)$ ，画在第一象限。
W3 p.5龟兔赛跑复习
Gary 的位置 $g = 5 t + 50$ ， $t = 0$ 时 $g = 50$ ；Sandra 的位置 $s = 15 t$ 。
W3 p.6追及与终点图
$g (t) = 5 t + 50$ 、 $s (t) = 15 t$ ；标 $(0, 50)$ 、 $(0, 0)$ 、交点 $(5, 75)$ ；横线标终点 200；追上条件 $g (t) = s (t)$ 。
W3 p.7漏水数据
水箱漏水； $t = 0$ 时 20 gallons， $t = 10$ 时 16 gallons。
W3 p.8漏水恒定速率图
The tank leaks at a constant rate；Δg/Δt=constant；linear relationship。图标 $(0, 20)$ ，并问 $t = - 15$ 时多少加仑。
W3 p.9向过去时刻外推
$\frac{Δ g}{Δ t} = \frac{- 4}{10}$ ； $g (- 15) = g (0) + (\frac{- 4}{10}) (- 15 - 0) = 20 + (\frac{- 4}{10}) (- 15) = 20 + 6$ 。旁注可采用自己熟悉的解法。
W3 p.10漏水函数
$g = (\frac{- 4}{10}) t + 20$ ；高亮 Recognize how solving it makes sense to you（理解解法对自己为何有意义）。
W3 p.11方程组与交点
$2 x + 3 y = 5$ ； $10 x - 4 y = 6$ ；求 x、y；示意图画两条直线及交点。
W3 p.12代入法
Substitution：先解出一个变量，代入第二式。 $x = \frac{5 - 3 y}{2}$ ； $10 (\frac{5 - 3 y}{2}) - 4 y = 6$ ；化为 $25 - 19 y = 6$ ，得 $y = 1$ 。
W3 p.13消元法
Elimination：先使一个系数匹配。第一式乘 5 得 $10 x + 15 y = 25$ ；减 $10 x - 4 y = 6$ ，得 $19 y = 19$ 。
W3 p.14课堂通知
Midterm in 2 Weeks!!：原课时记载两周后期中考试。
W3 p.15线性方程组例二
System of Linear Equations； $3 x + y = 10$ ； $x - 5 y = - 18$ ；列出 Substitution、Elimination。
W3 p.16例二代入法
$y = 10 - 3 x$ ； $x - 5 (10 - 3 x) = - 18 ⟹ 16 x - 50 = - 18 ⟹ 16 x = 32 ⟹ x = 2$ ； $3 \cdot 2 + y = 10 ⟹ y = 4$ 。
W3 p.17例二消元法
第二式乘 $- 3$ 得 $- 3 x + 15 y = 54$ ；加第一式 $3 x + y = 10$ ，得 $16 y = 64 ⟹ y = 4$ ； $3 x + 4 = 10 ⟹ x = 2$ 。
W3 p.18无解例
$2 x + 8 y = 16$ ； $- 3 x - 12 y = 9$ ；分别乘 3、2 后相加得 $0 x + 0 y = 66$ ，即 $0 = 66$ ，结论 No possible solutions。页底另有课堂投票地址。
W3 p.19函数与日程表
Functions；Thursday schedule：8–9:30 Diff Eq；10–10:30 Walking dog；11–12 Eating；12–3 Paperwork；3:30–5 Precalc。
W3 p.21按时间询问输出
Where am I at 9 AM? 12:15? 4:00? 10:45? 最后一项落在所列日程的空档。
W3 p.22时间表作为函数
My schedule can serve as a function；给定时间可回答问题。映射图：domain 为 times，经 f(t) 指向标注 range 的 locations；表本身实际提供活动。
W3 p.23函数输入输出与代数求值
f(10:15)=walking Charlie，标 input、output。下半页 $f (x) = x^{3} - 9$ ； $f (0) = - 9$ ， $f (2) = - 1$ ， $f (- 2) = - 17$ ， $f (- 3) = - 36$ 。
W3 p.24平方根函数与定义域值域
$g (x) = x$ ； $g (0) = 0$ ， $g (4) = 2$ ， $g (16) = 4$ ， $g (7) = 7$ ； $g (- 4)$ undefined，因为 $- 4$ 不在 domain； $g (x) = - 9$ 无解，因为 $- 9$ 不在 range； $g (x) = 6$ 时 $g (36) = 6$ 。
W3 p.25两点确定线性关系
线性关系经过 $(0, 1)$ 、 $(2, 5)$ ；问 y in terms of x；x in terms of y。
W3 p.26两点求斜率和截距
$(y_{2} - y_{1}) = m (x_{2} - x_{1})$ ； $5 - 1 = m (2 - 0) ⟹ m = 2$ 。代 $(0, 1)$ 得 $b = 1$ ，故 $y = 2 x + 1$ ；可视为 x 的函数。
W3 p.27反向表示
$y = 2 x + 1 ⟹ y - 1 = 2 x ⟹ x = \frac{y - 1}{2}$ ；说明这是用 y 表示 x。